యూక్లిడ్ భాగహార న్యాయం
ఏవేని రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యలు a మరియు b (a>b) లకు అనుగుణంగా a=bq+r, 0≤ r <b అయ్యే విధంగా "q మరియు r" లు ఏకైకంగా వ్యవస్థితం అగును
విభాజ్యం(a) = భాజకం(b) x భాగఫలం(q) + శేషం (r)
దీనినే యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి అని కూడ పిలుస్తారు
ఉదాహరణ:
రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యలు 24 మరియు 9
9 ) 24 (2
18
----------
06
----------
∴ 24 = 9 x 2 + 6
మరొక ఉదాహరణ:
రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యలు 34 మరియు 6
6 ) 34 (5
30
----------
04
----------
∴ 34 = 6 x 5 + 4
✶రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యల గరిష్ట సామాన్య భాజకం(గ.సా.భా.) ను కనుక్కోవడానికి యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ని ఉపయోగిస్తాము.
✶రెండు సంఖ్యల యొక్క ఉమ్మడి కారణాంకాలలో పెద్ద కారణాంకంను ఆ రెండు సంఖ్యల
గ.సా.భా.అంటారు.
✶రెండు వరుస సంఖ్యల యొక్క గ.సా.భా.= 1
✶రెండు వరుస బేసి సంఖ్యల యొక్క గ.సా.భా.= 1
✶రెండు ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క గ.సా.భా.= 1
✶రెండు వరుస సరి సంఖ్యల యొక్క గ.సా.భా.= 2
రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యల గ.సా.భా. ను యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ని ఉపయోగించి కనుక్కోవడానికి పద్ధతి:
1. రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యలు a మరియు b (a>b)లపై యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ని ఉపయోగించి q మరియు r ల విలువలు కనుగొనాలి
a=bq+r
2. శేషం r = 0 అయితే భాజకం"b" ని a మరియు b ల యొక్క గ.సా.భా. అంటాము
3. శేషం r ≠ 0 అయితే యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ని భాజకం(b) మరియు శేషం(r) లపై ఉపయోగిస్తాము
4.శేషం = 0 అయితే భాజకం"r" ని a మరియు b ల యొక్క గ.సా.భా. అంటాము
5. శేషం సున్నాకాకపోతే యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ని భాజకం మరియు శేషం లపై ఉపయోగిస్తాము
6. ఈ విధంగా శేషం సున్నా వచ్చు వరకు చేయాలి
7. శేషం సున్నా వచ్చిన సందర్భంలోని భాజకం ఇవ్వబడిన సంఖ్యల గ.సా.భా.అవుతుంది
Ex.1:
రెండు సంఖ్యలు 96 మరియు 72 ల గ.సా.భా.
సాధన:
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ని 96 మరియు 72 లపై ఉపయోగించగా
72 ) 96 (1
72
----------
24
----------
∴ 96 = 72 x 1 + 24
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ని 72 మరియు 24 లపై ఉపయోగించగా
24 ) 72 (3
72
----------
00
----------
∴ 72 = 24 x 3 + 0
శేషం సున్నా వచ్చింది
కావున భాజకం(24) గ.సా.భా. అవుతుంది
∴ 96 మరియు 72 ల గ.సా.భా. = 24
Ex.2: రెండు సంఖ్యలు 145 మరియు 30 ల గ.సా.భా.
సాధన:
భాగహార శేష విధి ని 145 మరియు 30 లపై ఉపయోగించగా
30 ) 145 (4
120
----------
025
----------
∴ 145 = 30 x 4 + 25
భాగహార శేష విధి ని 30 మరియు 25 లపై ఉపయోగించగా
25 ) 30 (1
25
----------
05
----------
∴ 30 = 25 x 1 + 5
భాగహార శేష విధి ని 25 మరియు 5 లపై ఉపయోగించగా
5 ) 25 (5
25
----------
00
----------
∴ 25 = 5 x 5 + 0
శేషం సున్నా వచ్చింది
కావున భాజకం(5) గ.సా.భా. అవుతుంది
∴ 145 మరియు 30 ల గ.సా.భా. = 5
Text Book Question:
రెండు సంఖ్యలు 900 మరియు 270 ల గ.సా.భా.
సాధన:
భాగహార శేష విధి ని 900 మరియు 270 లపై ఉపయోగించగా
270) 900 (3
810
----------
090
----------
∴ 900 = 270 x 3 + 90
భాగహార శేష విధి ని 270 మరియు 90 లపై ఉపయోగించగా
90) 270 (3
270
----------
000
----------
∴ 270 = 90 x 3 + 0
శేషం సున్నా వచ్చింది
కావున భాజకం(90) గ.సా.భా. అవుతుంది
∴ 900 మరియు 270 ల గ.సా.భా. = 90
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ని ఉపయోగించి క్రింది సంఖ్యల గ.సా.భా.ను కనుగొనుము
1. 240 మరియు 100
2. 350 మరియు 250
3. 680 మరియు 500
4. 175 మరియు 120
5. 144 మరియు 108