5√2 + 7√3ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించడానికి ముందు క్రింది
భావనలను గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.
ప్రతి అకరణీయ సంఖ్యను p/q రూపంలో వ్రాయవచ్చు.
(p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0)
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2
(a - b)2
= a2 - 2ab + b2
ఒక పదాన్ని/ఒక గుణకాన్ని స్థానాంతరం చెందించినపుడు
“+a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “-a” గా మారుతుంది
“-a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “+a” గా మారుతుంది
“ x a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “ ÷ a” గా మారుతుంది
“÷ a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “x a” గా మారుతుంది
“x a/b” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “x b/a” గా మారుతుంది
భిన్నాల
సూక్ష్మీకరణ:
ఉదాహరణలు:
1. 2/3 + 5 = (2+ 5 x 3)/3 = (2 +15)/3 = 17/3
2. 7 – 5/4 = (7 x 4 – 5)/4 = (28 – 5)/4 = 23/4
3. 3/5 + 4/7=(3x7 + 4x5)/5x7 =(21+ 20)/35= 41/35
మరియు "√2 ని కరణీయ సంఖ్య అని చూపటం" తెలుసుకోవాలి
-------------------------------------------------------------------
5√2 +7√3 కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి
(దీనిని మనం పరోక్ష పద్ధతి ద్వారా నిరూపిస్తాము)
నిరూపణ:
ప్రతిపాదన: 5√2 + 7√3 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకుందాం
అపుడు 5√2 + 7√3 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది
∴ 5√2 + 7√3 = p/q
(p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0 )
" +7√3 " ని RHS వైపు వ్రాయగా
5√2 = P/q - 7√3
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
(5√2)2 = (P/q – 7√3 )2
[(a - b)2 = a2 - 2ab + b2]
52(√2)2= (P/q)2 – 2 x (p/q) x ((7√3) + (7√3)2
[ఇక్కడ a = p/q మరియు b = 7√3 ]
25(2) = (P2/q2) – (14√3)(p/q) + 72(√3)2
50 = (P2/q2) – (14p/q)(√3)+ 49(3)
“– (14p/q)(√3)” ని LHS వైపు వ్రాయగా
50 + (14p/q)(√3)= P2/q2 + 147
“+50” ని RHS వైపు వ్రాయగా
(14p/q)(√3)= P2/q2 + 147 - 50
(14p/q)(√3)= P2/q2 + 97
97 ని q2 చే గుణించగా
(14p/q)(√3) = (p2 + 97q2)/q2
“(14p/q)” ని RHS వైపు వ్రాయగా
(√3) = (p2 + 97q2)/q2 x (q/14p)
(√3) = (p2 + 97q2)/14pq (“q” ని కొట్టి వేయగా)
p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు కావున
“(p2 + 97q2)/14pq” ఒక అకరణీయ సంఖ్య.
కాని √3 ఒక కరణీయ సంఖ్య.
పై రెండు వాక్యాలు పరస్పరం విరుద్ధాలు
ఈ విరుద్ధతకి కారణం మన ప్రతిపాదన
కావున మన ప్రతిపాదన “5√2 + 7√3 కరణీయ సంఖ్య కాదు” అనటం తప్పు
∴ 5√2 + 7√3 కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది
---------------------------------------------------------