3 + 2√5 ను కరణీయ సంఖ్య అని నిరూపించడానికి ముందు క్రింది భావనలను గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.
ప్రతి అకరణీయ సంఖ్యను p/q రూపంలో వ్రాయవచ్చు.
(p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0)
ఒక పదాన్ని/ఒక గుణకాన్ని స్థానాంతరం చెందించినపుడు
“+a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “-a” గా మారుతుంది
“-a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “+a” గా మారుతుంది
“ x a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “÷ a” గా మారుతుంది
“÷ a” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “x a” గా మారుతుంది
“ x a/b” ను LHS/RHS వైపుకి మార్చినపుడు “ x b/a” గా మారుతుంది
భిన్నాల సూక్ష్మీకరణ:
ఉదాహరణలు:
1. 2/3 + 5 = (2+ 5 x 3)/3 = (2 +15)/3 = 17/3
2. 7 – 5/4 = (7 x 4 – 5)/4 = (28 – 5)/4 = 23/4
3. 3/5 + 4/7=(3x7+4x5)/5x7 =(21+ 20)/35 =41/35
"√2 ని కరణీయ సంఖ్య అని చూపటం"
మరియు "5√2 + 7√3 ను కరణీయ సంఖ్య" అని చూపటం తెలుసుకోవాలి
-------------------------------------------------------------------
3 + 2√5 ను కరణీయ సంఖ్య అని చూపండి.
(దీనిని మనం పరోక్ష పద్ధతి ద్వారా నిరూపిస్తాము)
నిరూపణ:
ప్రతిపాదన: 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు అనుకుందాం
అపుడు 3 + 2√5 అకరణీయ సంఖ్య అవుతుంది
∴ 3 + 2√5 = p/q
(p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు q ≠ 0 )
"+3" ని RHS వైపు వ్రాయగా
2√5 = p/q - 3
(3 ని q చే గుణించగా)
2√5 = (p - 3q)/q
“ x 2” ని RHS వైపు వ్రాయగా
√5 = [(p - 3q)/q] ÷ 2
√5 = [(p - 3q)/q] x (1/2)
√5 = (p - 3q)/2q
p, q లు పూర్ణ సంఖ్యలు కావున
“(p - 3q)/2q” ఒక అకరణీయ సంఖ్య
కాని √5 ఒక కరణీయ సంఖ్య
పై రెండు వాక్యాలు పరస్పరం విరుద్ధాలు
ఈ విరుద్ధతకి కారణం మన ప్రతిపాదన
కావున మన ప్రతిపాదన “3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య కాదు” అనటం తప్పు
∴ 3 + 2√5 కరణీయ సంఖ్య అవుతుంది
--------------------------------------------------