ఈ ప్రశ్న నిరూపించడానికి ముందు క్రింది భావనలను గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం
ఏవేని రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యలు a మరియు b (a＞b) లకు అనుగుణంగా a=bq+r, 0≤ r ＜b అయ్యే విధంగా "q మరియు r" లు ఏకైకంగా వ్యవస్థితం అగును
a=bq+r, 0≤ r ＜b
☆(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
☆ (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
----------------------------------------------------
☆ఏదైన ధన పూర్ణ సంఖ్య యొక్క వర్గం 5p లేదా 5p+1 లేదా 5p+4 రూపంలో ఉంటుందని చూపండి.( ఇక్కడ p ఏదైన పూర్ణ సంఖ్య)
Proof:
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ప్రకారం
ఏవేని రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యలు a మరియు b (a＞b) లకు అనుగుణంగా a=bq+r, 0≤ r ＜b అయ్యే విధంగా "q మరియు r" లు ఏకైకంగా వ్యవస్థితం అగును
ధన పూర్ణసంఖ్య "a" అనుకోండి
మరియు b=5 గా తీసుకోండి
∴ a=5q+r, 0≤ r ＜5
( r యొక్క విలువలు 0 లేదా 1 లేదా 2 లేదా 3 లేదా 4 అవుతాయి)
a=5q+r,
ఇరువైపులా వర్గం చేయగా
(a)2=(5q+r)2
[కుడి వైపు (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 సూత్రాన్ని ఉపయొగించగా]
a2 = (5q)2 + 2(5q)(r) + (r)2
[ఇక్కడ a = 5q మరియు b = r ]
[ వివిధ "r" విలువలు ప్రతిక్షేపించాలి]
-----------------------------------------
సంధర్భం-i: r=0 వ్రాయగా
a2 = (5q)2 + 2(5q)(0) + (0)2
a2 = (5q)2 + 0 + 0
a2 = 52q2
a2 = 5x5q2
a2 = 5(5q2)
a2 = 5P (ఇక్కడ P= 5q2 )
-----------------------------------------
సంధర్భం-ii: r=1 వ్రాయగా
a2 = (5q)2 + 2(5q)(1) + (1)2
a2 = 52q2 + 10q + 1
a2 = 25q2 + 10q + 1
మొదటి రెండు పదాలను కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయాలి
a2 = 5 x 5 x q2 + 5 x 2 x q + 1
మొదటి రెండు పదాల నుండి 5 ను Common గా వ్రాయాలి
a2 = 5 (5q2 + 2q) + 1
a2 = 5P + 1 (ఇక్కడ P = 5q2 + 2q )
---------------------------------------------
సంధర్భం-iii: r=2 వ్రాయగా
a2 = (5q)2 + 2(5q)(2) + (2)2
a2 = 52q2 + 20q + 4
a2 = 25q2 + 20q + 4
మొదటి రెండు పదాలను కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయాలి
a2 = 5 x 5 x q2 + 5 x 2 x 2 x q + 4
మొదటి రెండు పదాల నుండి 5 ను Common గా వ్రాయాలి
a2 = 5 (5q2 + 4q) + 4
a2 = 5P + 4 (ఇక్కడ P = 5q2 + 4q )
-----------------------------------------
సంధర్భం-iv: r=3 వ్రాయగా
a2 = (5q)2 + 2(5q)(3) + (3)2
a2 = 52q2 + 30q + 9
a2 = 25q2 + 30q + 9
మొదటి రెండు పదాలను కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయాలి
మరియు 9 ని 5+4 గా వ్రాయండి
a2 = 5 x 5 x q2 + 5 x 2 x 3 x q + 5 x 1 + 4 [ 5=5 x 1]
మొదటి మూడు పదాల నుండి 5 ను Common గా వ్రాయాలి
a2 = 5 (5q2 + 6q + 1) + 4
a2 = 5P + 4 (ఇక్కడ P = 5q2 + 6q + 1)
-----------------------------------------
సంధర్భం-v: r=4 వ్రాయగా
a2 = (5q)2 + 2(5q)(4) + (4)2
a2 = 52q2 + 40q + 16
a2 = 25q2 + 40q + 16
మొదటి రెండు పదాలను కారణాంకాల లబ్ధంగా వ్రాయాలి
మరియు 16 ను 15+1 గా వ్రాయండి
a2 = 5 x 5 x q2 + 5 x 2 x 2 x 2 x q + 5 x 3 + 1 [ 15=5 x 3]
మొదటి మూడు పదాల నుండి 5 ను Common గా వ్రాయాలి
a2 = 5 (5q2 + 8q + 3) + 1
a2 = 5P + 1 (ఇక్కడ P = 5q2 + 8q + 3)
పై ఐదు సంధర్భాల ఆధారంగా, "ఏదైన ధన పూర్ణ సంఖ్య యొక్క వర్గం 5p లేదా 5p+1 లేదా 5p+4 రూపంలో ఉంటుందని" చెప్పవచ్చు.
----------------------------------------------------------
👆నిరూపణ కొరకు క్లిక్ చేయండి👆
మాదిరి ప్రశ్నలు:
1. ఏదైన ధన పూర్ణ సంఖ్య యొక్క వర్గం 3P లేదా 3P+1 రూపంలో ఉంటుందని యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ప్రకారం నిరూపించండి.
2. యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ప్రకారం ఏదైన ధన పూర్ణ సంఖ్య యొక్క వర్గం 4P+2 లేదా 4P+3 రూపంలో ఉండదని నిరూపించండి.
3. ఏదైన ధన పూర్ణ సంఖ్య యొక్క వర్గం 7P, 7P+1, 7P+2 లేదా 7P+4 రూపంలో ఉంటుందని యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ప్రకారం నిరూపించండి.