ప్రశ్న నిరూపించడానికి ముందు క్రింది భావనలను గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం
ఏవేని రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యలు a మరియు b (a＞b) లకు అనుగుణంగా a=bq+r, 0≤ r ＜b అయ్యే విధంగా "q మరియు r" లు ఏకైకంగా వ్యవస్థితం అగును
a=bq+r, 0 ≤ r ＜b
☆(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3
☆(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
---------------------------------------------------------
☆ఏదైన ధన పూర్ణ సంఖ్య యొక్క ఘనం 9m లేదా 9m+1 లేదా 9m+8 రూపంలో ఉంటుందని చూపండి.( ఇక్కడ m ఏదైన పూర్ణ సంఖ్య)
నిరూపణ:
యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ప్రకారం
ఏవేని రెండు ధన పూర్ణసంఖ్యలు a మరియు b (a＞b) లకు అనుగుణంగా a=bq+r, 0≤ r ＜b అయ్యే విధంగా "q మరియు r" లు ఏకైకంగా వ్యవస్థితం అగును
ధన పూర్ణసంఖ్య "a" అనుకొనండి
మరియు 3 యొక్క గుణిజం 9 కావున b=3 గా తీసుకోండి
∴ a=3q+r, 0≤ r ＜3
a=3q+r, (r యొక్క విలువలు 0 లేదా 1 లేదా 2)
ఇరువైపులా ఘనం చేయగా
(a)3=(3q+r)3 [ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 సూత్రం ప్రకారం]
a3 = (3q)3 + 3(3q)2(r) + 3(3q)(r)2 + (r)3 [ఇక్కడ a = 3q మరియు b = r ]
[ వేరు వేరు "r" విలువలు ప్రతిక్షేపించగా]
---------------------------------------------
సందర్భం-i: r = 0 గా తీసుకోండి
a3 = (3q)3 + 3(3q)2(0) + 3(3q)(0)2 + (0)3
a3 = (3q)3 + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 )
a3 = 33q3
a3 = 27q3
a3 = 9 x 3 x q3
a3 = 9(3q3)
a3 = 9m (ఇక్కడ m= 3q3 )
----------------------------------------
సందర్భం-ii: r = 1 గా తీసుకోండి
a3 = (3q)3 + 3(3q)2(1) + 3(3q)(1)2 + (1)3
a3 = (33q3) + 3(32q2) + 3(3q)(1) + (1)
a3 = 27q3 + 3(9q2) + 9q + 1
మొదటి మూడు పదాలను కారణాంకాల లబ్ధం గా వ్రాయాలి
a3 = 3x3x3xq3 + 3x3x3xq2 + 3x3xq + 1
మొదటి మూడు పదాల నుండి (3 x 3) ని Common గా వ్రాయాలి
a3 = 3x3x(3xq3 + 3xq2 + q) + 1
a3 = 9(3q3 + 3q2 + q) + 1
a3 = 9m + 1 (ఇక్కడ m = 3q3 + 3q2 + q )
------------------------------------------------
సందర్భం-iii: r = 2 గా తీసుకోండి
a3 = (3q)3 + 3(3q)2(2) + 3(3q)(2)2 + (2)3
a3 = (33q3) + 3(32q2)(2) + 3(3q)(4) + (8)
a3 = 27q3 + 3(9q2)(2) + 9q(4) + 8
a3 = 27q3 + (27q2)(2) + 36q + 8
a3 = 27q3 + 54q2 + 36q + 8
కుడి వైపు పదాలను కారణాంకాల లబ్ధం గా వ్రాయాలి
a3 = 3x3x3xq3 + 3x3x3x2xq2 + 3x3x2x2q + 2x2x2
మొదటి మూడు పదాల నుండి (3 x 3) ని Common గా వ్రాయాలి
a3 = 3 x 3 x (3xq3 + 3x2xq2 + 2x2xq) + 2x2x2
a3 = 9(3q3 + 6q2 + 4q) + 8
a3 = 9m + 8 (ఇక్కడ m = 3q3 + 6q2 + 4q )
పై మూడు సంధర్భాల ఆధారంగా, "ఏదైన ధన పూర్ణ సంఖ్య యొక్క ఘనం 9m లేదా 9m+1 లేదా 9m+8 రూపంలో ఉంటుందని" చెప్పవచ్చు.
----------------------------------------------------------
👆నిరూపణ కొరకు క్లిక్ చేయండి👆
మాదిరి ప్రశ్నప్రయత్నించండి:
1. యూక్లిడ్ భాగహార శేష విధి ప్రకారం ఏదైన ధన పూర్ణ సంఖ్య యొక్క ఘనం 4p లేదా 4p+1 లేదా 4p+3 రూపంలో ఉంటుందని చూపండి.(ఇక్కడ p ఏదైన పూర్ణ సంఖ్య)